Zbierka úloh z pravdepodobnosti

Úloha 1

Radoslav Harman — Tue, 15 Sep 2009 10:00:07 +0000

Nech je neprázdna množina a nech . Potom je -algebra vtedy a len vtedy, keď platí 1. , 2. Ak , tak , 3. Ak , tak . Dokážte.

Úloha 2

Radoslav Harman — Tue, 15 Sep 2009 09:50:13 +0000

Nech je -algebra a nech . Z definície -algebry dokážte, že a pomocou úlohy 1 dokážte, že aj .

Úloha 3

Radoslav Harman — Tue, 15 Sep 2009 09:40:52 +0000

Nech je -algebra a . Dokážte, že udalosti , , aj patria do . (Operáciu definujeme nasledovne: .) Neformálne zdôvodnite, prečo akákoľvek “spočítateľná” množinová operácia medzi udalosťami a je opäť udalosť, čiže prvok systému .

Úloha 4

Radoslav Harman — Tue, 15 Sep 2009 09:40:46 +0000

Nech je neprázdna množina a nech . Potom je -algebra vtedy a len vtedy, keď 1. a 2. Pre akúkoľvek postupnosť množín platí . Dokážte.

Úloha 5

Radoslav Harman — Tue, 15 Sep 2009 09:30:13 +0000

Nech je -algebra a nech . Symbolom označujeme množinu všetkých tých prvkov , ktoré patria do nekonečne veľa množín a symbolom označujeme množinu všetkých tých prvkov , ktoré patria do všetkých množín , s výnimkou maximálne konečného počtu týchto množín. Presvedčte sa, že
,

Zdôvodnite, prečo aj .

Úloha 6

Radoslav Harman — Tue, 15 Sep 2009 09:20:17 +0000

Nech je -algebra, nech a nech . Nech je množina tých prvkov , ktoré patria do

a) práve ,
b) najviac ,
c) najmenej
množín . Dokážte, že .

Úloha 7

Radoslav Harman — Tue, 15 Sep 2009 09:10:12 +0000

Nech . Presvedčte sa, že potom aj sú -algebry.

Úloha 8

Radoslav Harman — Tue, 15 Sep 2009 09:00:16 +0000

Nech , . Ukážte, že potom je -algebra. Ak naviac , , je tiež -algebra?

Úloha 9

Radoslav Harman — Tue, 15 Sep 2009 08:50:50 +0000

Nech . Definujme nasledovné systémy množín:
,
a
.
Pre ktoré je -algebra?

Úloha 10

Radoslav Harman — Tue, 15 Sep 2009 08:40:13 +0000

Nech je -algebra a nech . Definujme nasledovný systém množín: . Potom je tiež -algebra. Dokážte.